Longest Increasing Subsequence

最长上升子序列（LIS）

定义

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），简称LIS，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。假设我们有一个序列 b i，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们也可以从中得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N，但必须按照从前到后的顺序。

比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，我们就会得到一些上升的子序列，如(1, 7, 9), (3, 4, 8), (1, 3, 5, 8)等等，而这些子序列中最长的（如子序列(1, 3, 5, 8) ），它的长度为4，因此该序列的最长上升子序列长度为4。

注：对于固定的数组，虽然LIS序列不一定唯一，但LIS的长度是唯一的

子串和子序列的区别

（1）字符子串指的是字符串中连续的n个字符，如abcdefg中，ab，cde，fg等都属于它的字串。
（2）字符子序列指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符，即可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。如abcdefg中，acdg，bdf属于它的子序列，而bac，dbfg则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。

求解方法

1.O(n^2)的DP

思路分析

​ 我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。
​ 总结一下，d(i) 就是找以A[ i ]结尾的，在A[ i ]之前的最长上升子序列+1，即前 i 个数的 LIS 长度 + 1。当A[ i ]之前没有比A[ i ]更小的数时，d(i) = 1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。其实说的通俗点，就是每次都向前找比它小的数和比它大的数的位置，将第一个比它大的替换掉，这样操作虽然LIS序列的具体数字可能会变，但是很明显LIS长度还是不变的，因为只是把数替换掉了，并没有改变增加或者减少长度。但是我们通过这种方式是无法求出最长上升子序列具体是什么的，这点和最长公共子序列不同。

实现

状态设计：F [ i ] 代表以 A [ i ] 结尾的 LIS 的长度
状态转移：F [ i ] = max { F [ j ] + 1 ，F [ i ] } (1 <= j < i，A[ j ] < A[ i ])
边界处理：F [ i ] = 1 (1 <= i <= n)

void LIS(){
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        f[i] = 1;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<i; j++)
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i], f[j]+1);
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        ans = max(ans, f[i]);    
}

2.O(nlogn)的二分+贪心法

思路分析

​ 新建一个 low 数组，low [ i ]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。因此，我们只需要维护 low 数组，对于每一个a[ i ]，如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度]，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面，即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。

​ 对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则，就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分 low 数组，找出第一个大于等于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

实现

下面是使用lower_bound优化最长上升子序列。由于长度相同的上升子序列只需要保存结尾最小的那个，而长度递增时，结尾数字的大小也是递增的。最长上升子序列就是找出比他大的第一个数。前面的数都比他小，所以他和这个数的长度相同。然后由于他比较然后小，更新找到的那个值。

#define INF 0x3f3f3f3f;  
void LIS() {  
    fill(g, g+l, INF);  
    int maxi=-1;  
    for(int i=0; i<l; i++){  
        int j = lower_bound(g, g+l, num[i]) - g;  
        d[i] = j+1;  
        if(maxi<d[i])  
            maxi=d[i];  
        g[j] = num[i];  
    }  
    printf("%d\n", maxi);  
}  

这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。这里主要注意一下lower_bound函数的应用，注意减去的g是地址(地址 - 地址 = 下标)。

3.O(nlogn)的树状数组优化的DP

我们再来回顾O(n^2)DP的状态转移方程：F [ i ] = max { F [ j ] + 1 ，F [ i ] } (1 <= j < i，A[ j ] < A[ i ])
我们在递推F数组的时候，每次都要把F数组扫一遍求F[ j ]的最大值，时间开销比较大。我们可以借助数据结构来优化这个过程。用树状数组来维护F数组（据说分块也是可以的，但是分块是O(n*sqrt(n)）的时间复杂度，不如树状数组跑得快），首先把A数组从小到大排序，同时把A[ i ]在排序之前的序号记录下来。然后从小到大枚举A[ i ]，每次用编号小于等于A[ i ]编号的元素的LIS长度+1来更新答案，同时把编号大于等于A[ i ]编号元素的LIS长度+1。因为A数组已经是有序的，所以可以直接更新。

注：树状数组求LIS不去重的话就变成了最长不下降子序列了。

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
void update(int x, int val) {
    //把c[i]替换为c[i]和val中较大的数
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] = max(c[i], val);
}
int getMax(int x) {
    //返回c[1]~c[x]中的最大值
    int ans = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        ans = max(ans, c[i]);
    return ans;
}
int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1);
    len = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = lower_bound(b + 1, b + len + 1, a[i]) - b;//此时b[]变为去重后的数组，而a[]重复利用为下标数组
        dp[i] = getMax(a[i]) + 1;//查询编号小于等于num[i]的LIS最大长度,把长度+1即为新的最大长度
        update(a[i], dp[i]);//更新前面的LIS长度
        ans = max(ans, dp[i]);//更新答案
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}