higher-mathematics-note

高等数学保研笔记

可微、可导、连续的关系

连续不一定可导，可导一定连续。

在一元函数条件下可微和可导等价，多维条件下可微表示在任意方向可导

函数极限的定义、多元极限的定义

若f在点x0的某一去心邻域有定义，对任意$\epsilon$存在$\delta$大于0使得在|x-x0|属于(0，$\delta$)时，有|f(x)-A|< $\epsilon$成立，则A为f在x0处的极限。

若为多元函数，则在此基础上存在三种极限

• 重极限：每个自变量以任何方式同时逼近极限点

• 方向极限：自变量沿某个方向同时逼近极限点(重极限的一个方向)

• 累次极限：依次对每个变量趋近于极限点计算

所有方向的方向极限均存在，重极限仍然可能不存在，因为可能极限点处没有定义

重极限存在累次极限不一定存在，反之依然，如果二者均存在则相等

函数在某一点连续的定义

f是定义在a某邻域的函数，且f(x)在a处收敛，若limx->a f(x)=f(a)成立，则f在a点连续

罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

闭区间连续，开区间可导，端点值斜率等于中间某点的导数

什么是凹函数

下凸上凹

函数极值的求法

求一阶导数零点，通过求解二阶导的正负判断是极大值还是极小值，大于0是极小值，小于0是极大值。

除此之外，导数不存在的点也可能是极值点，判断左导数和右导数的正负，左正右负极大值，左负右正极小值，否则不是极值

格林公式

曲线积分转化为旋度的曲面积分(二维)，表示曲线的环流量等于向量场旋度的曲面通量

需要满足三个条件，积分曲线为闭合曲线，左手法则判断为正方向，函数P，Q存在一阶偏导数

斯托格斯公式

空间曲线积分转化为旋度的空间曲面积分(三维)，表示曲线的环流量等于向量场旋度的曲面通量

需要满足三个条件，积分曲线为闭合曲线，三个向量方向满足右手系，函数P，Q，R存在一阶偏导数

高斯定理

曲面积分转化为散度的体积分(三维),表示曲面的通量等于矢量散度的体积分

积分曲面为闭合曲面，曲面方向为外侧，函数P，Q，R存在一阶偏导数

学过哪几种级数，他们的定义

数项级数是指设xn为一个数列，则其和式为一个数项级数

函数项级数是指设fn(x)为一个数列，则其和式为一个函数项级数

收敛的判断方法有比较判别法(p-级数，等比级数)，比值判别法，根式判别法，迪利克雷定理和阿尔贝定理

迪利克雷定理是若an单调且极限为0，bn部分和有界则an*bn的级数收敛

阿尔贝定理是若an单调有界，bn收敛则an*bn的级数收敛

导数、二阶导数、偏导数的定义、意义

导数是指若f在x0的邻域有定义，且极限(f(x+$\delta$)-f)/$\delta$存在，则f在x0可导，极限为该点导数

二阶导数是导数的导数，反映了函数的凹凸性

偏导数是函数按某一个方向变化的导数，是函数沿某个坐标轴的变化率

微分的定义

函数的可微性是指函数在某一点附近的变化可以由该点的线性逼近来表示的性质

设f在x0邻域有定义，设增量$\delta y= f(x0+\delta) - f(x0)$，若存在常数A使得$\delta y = A \delta x+o(\delta x)$,则称A$\delta x$为x0处的微分

如果函数 f(x)在点 a 处可导，则微分 df 定义为：df=f′(a) dx

梯度是什么，和导数的关系

对函数f(x)在点x0处关于每个分量求偏导，得到的向量为f在x0处的梯度，梯度作为一个向量指明了该点的最速下降方向

泰勒公式的定义和意义

函数可以用某一点x0处的多阶导除以阶数的阶乘多项式求和的方式进行逼近一个给定的函数

傅里叶变换的定义

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数的叠加来模拟，是用三角函数来逼近原函数

拉普拉斯算子

函数梯度的散度

光滑函数

定义域内无穷阶数可导的函数，称为光滑函数

一致连续

f在区间I有定义，对于I上任意x1,x2满足|x1-x2|<$\delta$，有|f(x1)-f(x2)|<$\epsilon$，则f在区间I上一致连续

不定积分

函数f(x)在区间I上的全体原函数被称为f(x)在区间I上的不定积分

微分方程

一个描述了自变量、未知函数以及未知函数导数之间关系的等式称为微分方程