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线性代数保研笔记

线性空间和基的定义、性质

线性空间是对于一个域内满足加法和数乘封闭的集合，满足封闭需要满足八条性质。

加法满足交换律、结合律、存在零元，存在负元。

数乘满足乘一不变、数乘结合律【(kl)a=k(la)】，数乘数分配律【(k+l)a=ka+la】，数乘元素分配律【k(a+b)=ka+kb】。

基是指对于向量空间V的一组向量若满足线性无关且V中任一向量可以由此向量线性表示，则称组该向量是V中的一个基

子空间的定义

L是V的非空子集，且对V中定义的线性运算封闭，则L是V的子空间

矩阵如何求逆矩阵

常用的有伴随矩阵求逆矩阵、初等变换求逆矩阵

线性方程组的解法

如果系数矩阵和增广矩阵的秩不相同则无解，若相同在满秩情况下为唯一解，非满秩则有无穷多解

常用的解法包括高斯消元法和克莱姆法则，其中克莱姆法则适用于满秩时求解唯一解

矩阵的秩是什么，有什么意义

矩阵的秩是指矩阵最高阶非零子式的阶数，也等价于极大无关组中的向量个数。

矩阵的秩反映了矩阵的维数压缩能力，说明该矩阵通过线性变换最多可以压缩到的向量空间维数

满秩矩阵的性质

一般来说行满秩，列满秩，对于方阵而言，满秩方阵可逆

矩阵的迹

矩阵的迹是指主对角线的各元素的和，等于矩阵所有特征值的和

正定矩阵

如果矩阵M为n阶方阵，且对任意非零向量z，都有zTMz>0则为正定矩阵，判定方法为所有特征值大于0或所有顺序主子式大于0

线性相关和线性无关的定义

矢量空间中一组元素若没有一个元素可以用有限个其他矢量的线性组合表示，则成为线性无关，否则为线性相关

极大线性无关组的定义

线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组，即选出r个线性无关的向量且任意r+1个向量均线性相关则这r个向量为极大线性无关组

矩阵的正交化方法

若n阶方阵满足A和A转置相乘为单位阵，则称A为正交矩阵，常用的矩阵正交的方式为施密特正交化，基本思想是原向量减去前面基中的投影

正交矩阵只在线性空间中旋转，没有发生伸缩或平移操作

什么是矩阵的特征值和特征向量，如何计算，有什么意义

对于n阶矩阵A和常数$\lambda$，若Ax = $\lambda$x则$\lambda$为矩阵的特征值，x为对应的特征向量

相当于对特征向量x进行A的线性变换可以实现与特征向量x进行$\lambda$倍缩放实现相同的效果

矩阵行列式的值等于其所有特征值的乘积

线性空间的极大线性无关组和线性方程组的基础解系之间的联系

线性方程组的解空间是一个线性空间，对于齐次线性方程组 Ax=0，其基础解系是所有解中能够线性无关地表示整个解空间的一组解，所以基础解系即方程组的解集空间的极大线性无关组

什么是二次型

A为nxn的对称矩阵，则Q(x)=xTAx为定义在R上的一个二次型

什么是矩阵的相似，如何求相似矩阵

设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆阵P使得P逆AP为B，则A，B相似，几何意义是进行旋转，平移，放缩但不改变图形的几何性质

判断两个矩阵相似，则其对角化后具有相同的一组特征值，若该矩阵不可对角化则还需判断同一特征值对应特征向量数量相同

矩阵的伴随矩阵

矩阵的伴随矩阵是将一个矩阵所有位置用其代数余子式组成的矩阵

行列式的几何意义

面积/体积的缩放程度。如果把一个矩阵当作一个线性变换，那么矩阵的行列式就代表线性变换后的向量被拉伸/缩放的程度。当一个矩阵的行列式值为1时，代表他是旋转矩阵。向量经过该矩阵的线性变换后长度不变。

合同矩阵

设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆阵C使得C转置AC为B，则B是A的合同矩阵，它的几何含义是将同一个二次曲线在不同的基下用不同的二次型矩阵表示