基础知识：符号与最小数学地图

这页是基础知识模块的随手查表。第一次读 AI 教程时，真正卡人的往往不是公式本身，而是符号没有说明： $x$ 是输入还是图像， $W$ 是权重还是宽度， $H$ 是图像高度还是预测 horizon。

读法定位

这页先回答“符号与最小数学地图”在「基础知识」里的位置：它解决什么局部问题，依赖哪些前置，最后会影响哪类工程或研究判断。
前置：先看本页要补哪一个最小概念；公式或术语卡住时回到术语表，不需要一次吃完整个数学体系。必要时先回基础知识入口或术语表。
主线关系：把符号、张量、优化、评测和运行时这些前置打稳，后面的扩散、VLM/VLA、训练与系统页才不会断层。

初学者先抓住

看到公式先不要急着推导。按四步读：谁是输入，谁是输出，条件是什么，模型在优化什么。只要这四件事能说清，大多数公式都会从“看不懂的数学”变成“数据流的压缩写法”。

Shape 字母：先知道张量有多大

Shape 是模型模块之间的接口契约。本站会尽量沿用下面的写法。

符号	读法	常见含义	小例子
$B$	batch size	一次处理多少样本	`B=8` 表示 8 条样本一起算
$L$	sequence length	token 数或序列长度	文本长度、视觉 token 数
$D$	hidden dimension	每个 token 的向量维度	`D=4096`
$C$	channel	图像通道或特征通道	RGB 图像里 `C=3`
$H_{\text{img}}$	image height	图像高度	224 像素
$W_{\text{img}}$	image width	图像宽度	224 像素
$P$	patch size	图像 patch 边长	ViT 常见 `P=16`
$N$	token 或样本数量	具体含义看上下文	$N$ 个 patch、 $N$ 条数据
$T$	time length	时间步或总序列长度	16 帧视频、64 步轨迹

一个文本 batch 常写成：

$x \in \mathbb{R}^{B \times L \times D}$

读作： $x$ 是一个三维张量，有 $B$ 条样本，每条样本有 $L$ 个 token，每个 token 是 $D$ 维向量。

同一个字母在不同页面可能换意思

$H$ 在图像里常是 height，在世界模型里常是 horizon，在 attention 里也可能是 head 数。教程会尽量写成 $H_{\text{img}}$ 、 $H_{\text{hor}}$ 、 $H_{\text{heads}}$ 来避免混淆。

模型和参数：谁在被训练

符号	读法	含义
$f_\theta$	f theta	参数为 $\theta$ 的模型函数
$\theta$	theta	模型参数的集合
$W$	weight matrix	权重矩阵
$b$	bias	偏置
$h$	hidden state	中间隐藏表示
$z$	latent state	模型内部压缩状态
$\hat y$	y hat	模型预测值
$y$	y	真实标签或目标输出

最常见的线性层公式是：

$y = xW + b$

逐项读：

部分	含义
$x$	输入向量或输入张量
$W$	可训练权重，决定怎么重新组合输入特征
$b$	偏置，让输出可以整体平移
$y$	输出表示

如果写成 $\hat y=f_\theta(x)$ ，意思就是“模型用参数 $\theta$ 处理输入 $x$ ，得到预测 $\hat y$ ”。

概率符号：模型在给可能性打分

符号	读法	含义
$p(x)$	probability of x	$x$ 出现的概率或密度
$p_\theta(x)$	model distribution	参数为 $\theta$ 的模型分布
$p(y\mid x)$	y given x	给定 $x$ 时 $y$ 的条件概率
$q_\phi(z\mid x)$	q phi	参数为 $\phi$ 的近似后验或推断模型
$\log p(x)$	log probability	对数概率，训练里更容易相加
$\mathcal{N}(x;\mu,\Sigma)$	Gaussian density	在变量 $x$ 上取值或采样的高斯分布； $\mu$ 是均值， $\Sigma$ 是协方差

注意两种常见写法的区别： $\mathcal{N}(x;\mu,\Sigma)$ 把“变量、均值、协方差”三个位置都写出来； $z\sim\mathcal{N}(0,I)$ 是采样简写，左边的 $z$ 已经说明变量，所以括号里只剩“均值 0、协方差 $I$ ”。

条件概率里的竖线 $\mid$ 读作“given”。例如：

$p_\theta(y \mid x)$

读作：给定输入 $x$ ，模型输出 $y$ 的概率。它不保证 $y$ 一定正确，只表示模型认为哪个输出更可能。

在 VLA 或世界模型里常见：

$p_\theta(z_{t+1}\mid z_t,a_t)$

读作：给定当前 latent state $z_t$ 和动作 $a_t$ ，模型预测下一步 latent state $z_{t+1}$ 的分布。

Loss、梯度和优化：模型怎么变好

符号	读法	含义
$\mathcal{L}$	loss	损失函数，衡量预测和目标的差距
$\ell(\hat y,y)$	per-example loss	单个样本的损失
$\nabla_\theta \mathcal{L}$	gradient w.r.t. theta	loss 对参数 $\theta$ 的梯度
$\eta$	learning rate	学习率，每次更新走多大一步
$\leftarrow$	update to	更新赋值

最小训练更新可以写成：

$\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla_\theta \mathcal{L}$

逐项读：

部分	含义
$\theta$	当前模型参数
$\nabla_\theta \mathcal{L}$	哪个方向会让 loss 变大
$-\nabla_\theta \mathcal{L}$	往相反方向走，通常能让 loss 变小
$\eta$	步长，太大可能发散，太小会很慢

代码里它大致对应：

1 2	loss.backward() optimizer.step()

求和、期望和范数：把很多样本合起来

符号	读法	含义
$\sum_i$	sum over i	对很多项求和
$\prod_i$	product over i	对很多项连乘
$\mathbb{E}[\cdot]$	expectation	对随机样本取平均意义上的值
$\\|x\\|_2$	L2 norm	向量长度
$\\|x-y\\|_2^2$	squared L2 distance	MSE 常见形式
$\operatorname{KL}(q\\|p)$	KL divergence	两个分布差多少

例如行为克隆损失：

$\mathcal{L}_{\text{BC}} =-\sum_{(o,l,a)\in\mathcal{D}}\log \pi_\theta(a\mid o,l)$

可以拆成一句话：训练集 $\mathcal{D}$ 里每条样本都有观测 $o$ 、语言 $l$ 、专家动作 $a$ ；我们让策略 $\pi_\theta$ 更倾向于在同样输入下输出专家动作。

时间下标：模型在第几步看见什么

符号	含义
$t$	当前时间步
$t+1$	下一步
$o_t$	第 $t$ 步观测
$a_t$	第 $t$ 步动作
$o_{\le t}$	从过去到当前的所有观测
$a_{t:t+H-1}$	从 $t$ 开始的一段动作序列
$H_{\text{hor}}$	预测 horizon，往未来看多少步

例如：

$\pi_\theta(a_t\mid o_{\le t}, l)$

读作：策略根据到目前为止的观测 $o_{\le t}$ 和语言指令 $l$ ，输出当前动作 $a_t$ 的概率或动作值。

复杂度符号：为什么有的模型跑不动

写法	直觉
$O(L)$	序列长度翻倍，成本大约翻倍
$O(L^2)$	序列长度翻倍，成本大约变四倍
$O(BLD)$	batch、长度、维度都会线性增加成本
$B\times L\times D\times bytes$	一个 hidden tensor 的大致显存

Attention 最常见的成本提醒是：

$\text{score matrix size} \propto L^2$

也就是说，token 数 $L$ 一多，注意力分数矩阵会平方放大。多相机视频、长上下文和多轮对话都容易在这里变贵。

读公式的固定四问

以后在基础页或论文页看到公式，可以按下面四问走：

输入是什么： $x$ 、 $o_t$ 、 $z_t$ 、 $a_t$ 分别来自哪里？
输出是什么：预测 token、动作、latent、reward，还是概率？
条件是什么：竖线 $\mid$ 后面的变量是不是都在模型可见范围内？
优化什么：loss 是让输出更像标签，还是让分布、风险、奖励或成本更好？

如果这四问答不清，先回到本页查符号，再继续读具体模型。

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