基础知识：动态系统、控制与状态空间

状态空间、动力学、稳定性、控制、规划和 MPC 描述系统如何随时间变化，以及动作如何把系统推向目标。世界模型与具身智能文章借这套语言连接状态预测、动作选择、安全约束和闭环反馈。

状态：描述系统当前足够信息的变量

状态可以写成 $s_t$ 。它可能包含机器人位姿、关节角、速度、相机观测、任务进度，也可能是模型学出来的 latent。

一个离散时间系统常写成：

$s_{t+1}=f(s_t,a_t)$

如果有随机性：

$s_{t+1}\sim P(\cdot\mid s_t,a_t)$

世界模型里的核心问题就是学习这个转移：给定当前状态和动作，未来会怎样。

第一行是确定性版本：当前状态 $s_t$ 和动作 $a_t$ 通过函数 $f$ 直接给出下一状态。第二行是随机版本：下一状态从条件分布 $P(\cdot\mid s_t,a_t)$ 里采样，不是固定点。机器人抓取里，同一个动作可能因为摩擦、遮挡或物体姿态不同产生不同结果，所以随机版本更贴近现实。

后面看世界模型时，如果写成 $p_\theta(z_{t+1}\mid z_t,a_t)$ ，就是把真实状态 $s_t$ 换成模型 latent $z_t$ ，把真实转移 $P$ 换成神经网络参数化的转移模型。

状态空间：把所有可能状态放在一起

状态空间 $\mathcal{S}$ 是所有状态的集合。对机器人来说，它可能非常大：位置、姿态、速度、物体状态、接触关系、环境布局都可能进入状态。

如果状态选得太少，系统不满足马尔可夫性；如果状态太大，学习和控制会很难。所以很多模型用 latent state 压缩状态，但这会带来一个关键问题：压缩后的状态是否还保留控制需要的信息。

向量场：每个位置都有一个运动方向

连续时间系统写成：

$\dot{x}=f(x)$

这里 $\dot{x}$ 是状态变化率。可以把 $f(x)$ 想成向量场：状态空间里每个点都有一个箭头，告诉你下一瞬间往哪走。

$\dot{x}$ 是 $\frac{dx}{dt}$ 的简写，表示状态随时间变化的速度，不是一个新变量。如果 $f(x)$ 在某个区域指向目标，轨迹会往目标靠近；如果 $f(x)$ 指向外侧，轨迹可能发散。

图源：Wikimedia Commons: Vector field。原图展示平面中每个点对应的向量方向。这里的重点是：动态系统和 flow 类生成模型都可以先看成“沿一个方向场移动”的问题。

扩散模型里的 score field、Rectified Flow 的 velocity field、机器人控制里的动力学模型，都可以借用这个直觉。

稳定性：小扰动会不会被放大

一个系统稳定，意思是小扰动不会让轨迹跑飞。训练里的梯度爆炸、机器人控制里的振荡、世界模型 rollout 里的误差累积，都可以看成稳定性问题。

如果状态更新反复乘上一个矩阵：

$x_{t+1}=Ax_t$

那么 $A$ 的特征值会影响系统是否发散。虽然实际模型更复杂，但这个线性系统直觉非常重要：某些方向被反复放大，误差就会越来越大。

如果 $A$ 在某个方向上相当于每步乘以 1.2，这个方向的误差会越滚越大；如果每步乘以 0.8，误差会逐渐衰减。RNN 的梯度爆炸/消失、世界模型 rollout 的 drift、控制系统振荡，都可以先用这个“反复放大或衰减”的直觉理解。

控制：选择动作让系统走向目标

控制问题可以写成：

$\min_{a_{0:T-1}} \sum_{t=0}^{T-1} c(s_t,a_t) + c_T(s_T)$

其中 $c$ 是每一步代价， $c_T$ 是终点代价。控制关心一段动作序列会把系统带到哪里，不只看下一步动作是否合理。

这里 $a_{0:T-1}$ 是一整段候选动作， $c(s_t,a_t)$ 可以同时包含离目标多远、是否碰撞、能耗多高和是否违反安全约束。不同代价项的权重会直接改变控制器的行为：只惩罚距离可能撞障碍，只惩罚能耗又可能停在原地。

MPC：规划一段，只执行第一步

Model Predictive Control 在每个时刻 $t$ 解一个有限 horizon 问题：

$\min_{a_{t:t+H-1}} \sum_{k=0}^{H-1} c(s_{t+k},a_{t+k}) + c_T(s_{t+H})$

同时满足模型约束：

$s_{t+k+1} = f(s_{t+k},a_{t+k})$

它的闭环步骤是：

从当前观测或 belief state $s_t$ 出发。
提出多条长度为 $H$ 的候选动作序列。
用动力学模型 rollout 每条候选的未来状态。
累加任务、碰撞、能耗和终点代价，选出最低代价序列。
只执行第一步 $a_t$ ，获得新观测后从头再算。

这就是为什么世界模型如果要服务控制，必须能对不同动作产生不同未来，而不只是生成自然视频。

一个一维小例子：状态 $s$ 表示离目标 0 的有符号距离，动力学是：

$s_{k+1}=s_k+a_k$

初始 $s_0=2$ ，动作只能取 $-1$ 或 $+1$ ，horizon 为 2。代价定义为：

$J = s_1^2+s_2^2 + 0.1(a_0^2+a_1^2)$

四条候选的代价是：

候选动作	预测状态	代价
$(-1,-1)$	$2\to1\to0$	1.2
$(-1,+1)$	$2\to1\to2$	5.2
$(+1,-1)$	$2\to3\to2$	13.2
$(+1,+1)$	$2\to3\to4$	25.2

MPC 选择 $(-1,-1)$ ，但只执行第一个 $-1$ 。如果传感器发现真实新状态是 $1.2$ 而不是模型预测的 1，下一轮就从 $1.2$ 重新规划。这一步“只执行第一步，再刷新观测”是 MPC 抵抗模型误差的关键。

CEM：没有可用梯度时，用 elite 候选更新搜索分布

连续动作空间不可能把所有动作序列逐一枚举。Cross-Entropy Method 常被 PlaNet 一类 latent planner 用作 MPC 内部的候选优化器。

先在动作序列空间维护一个分布，例如：

$a_{t:t+H-1}^{(i)} \sim \mathcal N \left( \mu_r, \operatorname{diag}(\sigma_r^2) \right), \qquad i=1,\ldots,N$

第 $r$ 轮迭代做四件事：

从当前分布采样 $N$ 条动作序列。
用世界模型 rollout，并计算每条序列的总代价 $J^{(i)}$ 。
保留代价最低的 elite set $\mathcal E_r$ 。
用 elite 的均值和方差更新下一轮搜索分布：

$\mu_{r+1} = \frac{1}{|\mathcal E_r|} \sum_{i\in\mathcal E_r} a^{(i)}$

$\sigma_{r+1}^2 = \frac{1}{|\mathcal E_r|} \sum_{i\in\mathcal E_r} \left( a^{(i)}-\mu_{r+1} \right)^2$

重复几轮后，采样分布会集中到低代价区域。最后取最优序列或分布均值作为 MPC 计划，再只执行第一步。

CEM 的优势是不用对 simulator 或 world model 求动作梯度，非光滑碰撞代价也能进入评分。代价是需要大量 candidate rollout，而且结果依赖样本数、elite 比例、迭代轮数和初始方差。模型推理慢时，CEM 搜索预算会直接变成控制延迟。

这里的 Cross-Entropy Method 是一种采样优化算法，不是分类训练里的 cross-entropy loss。后面读 PlaNet、RSSM、Dreamer 与规划和 V-JEPA 2-AC 时，先问 CEM 在哪里采样、由谁评分、horizon 多长，以及 planner 是否真的闭环执行。

可控性与可观测性

可控性问：通过动作，能不能把系统从当前状态推到目标状态。

可观测性问：通过传感器观测，能不能推断系统真实状态。

在具身智能里，这两个问题非常现实：相机可能看不到遮挡物，动作接口可能太粗，语言指令可能不包含精确控制目标。VLA 输出动作 token 前，底层系统仍然要处理状态估计、控制约束和安全边界。

常见误读

误读	更稳的理解
世界模型就是视频生成	可控制的世界模型必须对动作敏感
动作预测准确就能执行	执行还要满足动力学、安全和反馈控制
状态越压缩越好	压缩必须保留决策变量
open-loop rollout 好就能闭环	闭环会放大误差，也会遇到分布外状态
MPC 会把整条最优序列一次执行完	它通常只执行第一步，然后用新观测重新规划
CEM 就是 cross-entropy classification loss	这里的 CEM 是用 elite 样本更新候选分布的无梯度优化方法

读完以后怎么判断

看到状态、动作、动力学或控制，先问：状态是否足够，动作怎样进入转移，目标函数是什么，候选由梯度还是采样优化，系统是否稳定，闭环反馈在哪里。这个框架会支撑世界模型、VLA、机器人数据和安全部署文章。

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