prefix_sum_algorithm

prefix_sum_algorithm

Charles Lv7
  2023-01-06 20:13:15 2023-01-06 20:13:15 Created   2023-07-30 10:52:49 2023-07-30 10:52:49 Updated      3.4k Words  14 Mins  

prefix_sum_algorithm

前缀和

一维前缀和

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。

合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。

前缀和算法的作用

先来了解这样一个问题：

输入一个长度为n的整数序列。接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
我们很容易想出暴力解法，遍历区间求和。

这样的时间复杂度为O(n * m)，如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到O(n + m)，大大提高了运算效率。

构造前缀和数组

首先做一个预处理，定义一个sum[]数组，sum[i]代表a数组中前i个数的和。

1
2
3
4
5
6
const int N = 1e5 + 10;
int sum[N], a[N];  
// sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}

sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l + 1] … a[r];
sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l - 1];
sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1] + …+ a[r];

这样，对于每个询问，只需要执行 sum[r] - sum[l - 1]。输出原序列中从第l个数到第r个数的和的时间复杂度变成了O(1)。

我们把它叫做一维前缀和。

查询操作

1
2
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);

对于每次查询，只需执行sum[r] - sum[l - 1] ，时间复杂度为O(1)

总结

二维前缀和

如果数组变成了二维数组怎么办呢？

先给出问题：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
同一维前缀和一样，我们先来定义一个二维数组s[][] , s[i][j] 表示二维数组中，左上角(1, 1)到右下角(i, j)所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。

先看一张图：

构造二维前缀和数组

由图得出二维前缀和预处理公式:

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

如图：

紫色面积是指 (1, 1)左上角到(x1 - 1, y2)右下角的矩形面积 ，黄色面积是指(1, 1)左上角到(x2, y1 - 1)右下角的矩形面积；
不难推出：
绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]

因此二维前缀和的结论为：

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

总结

差分

一维差分

差分可以看成前缀和的逆运算。

差分数组的作用

给定区间[l, r ]，让我们把a数组中的[l, r] 区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l + 1] + c , a[l + 2] + c , a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n * m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法，(差分数组派上用场了)。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,通过前缀和运算，a数组变成 a[l] + c ,a[l + 1] + c, a[n] + c;

然后我们减去范围外多加的c，b[r + 1] - c, 通过前缀和运算，a数组变成 a[r + 1] - c,a[r + 2] - c,a[n] - c;

b[l] + c，效果使得a数组中 a[l] 及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r 区间加上 c, 因此还需要执行 b[r + 1] - c,让a数组中 a[r + 1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

因此我们得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r] 区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c 。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

差分数组

首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1], b[2], b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + ,,,,,, + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

构造差分b数组

b[n] = a[n] - a[n - 1];

我们只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O(n) 的时间内得到 a 数组 。

后续补充：异或差分数组构造

题目链接：Face The Right Way G

题目相关细节：

  1. 构造差分数组：
1
2
3
4
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
    b[i] = a[i] ^ a[i - 1];
}
  1. 使用差分数组：
1
a[i] = a[i-1] ^ b[i];

总结

二维差分

如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,同样可以达到O(1)的时间复杂度。

二维差分数组

a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组

原数组：a[i][j]

我们去构造差分数组：b[i][j]

使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。

构造二维差分b数组

同一维差分，我们构造二维差分数组目的是为了让原二维数组a中所选中子矩阵中的每一个元素加上c的操作，可以由O(n*n)的时间复杂度优化成O(1)

已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;
假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c
b[x1][y1]+ = c ;
b[x1,][y2+1]- = c;
b[x2+1][y1]- = c;
b[x2+1][y2+1]+ = c;

每次对b数组执行以上操作，等价于：

1
2
3
for (int i = x1; i <= x2; i++)
    for (int j = y1; j <= y2; j++)
        a[i][j] += c;

我们画个图去理解一下这个过程：

b[x1][y1] += c; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2 + 1] -= c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2 + 1][y1] -= c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2 + 1][y2 + 1] += c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

我们将上述操作封装成一个插入函数:

1
2
3
4
5
6
7
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    // 对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入c = a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了a[i][j],因此执行 n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.

代码如下：

1
2
3
4
5
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        insert(i, j, i, j, a[i][j]);  // 构建差分数组
    }
}

当然关于二维差分操作也有直接的构造方法，公式如下：

b[i][j] = a[i][j] − a[i − 1][j] − a[i][j − 1] + a[i −1 ][j − 1]

二维差分数组的构造同一维差分思维相同，因次在这里就不再展开叙述了。

二维差分压缩

这部分为后来做题的补充，觉得比较重要，所以记录下来（其实觉得二维差分压缩为一维有点dp思想）

我们可以考虑将矩形压缩成一维，比如处理一个2行的矩形时，将a[i][j]与a[i-1][j]相加，成为一个新的数组f [ n ]，再使用上述代码进行动态规划，找出局部最优解。

简单来说，就是在输入的时候，再次加上a[i-1][j]，这样可以用减法来快速表示压缩的矩形。

具体代码如下：

1
2
3
4
5
6
7
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        scanf("%d", &a[i][j]);
        a[i][j] += a[i - 1][j];  // 根据前缀和定义处理
    }
}

假设二维差分数组输入的是：

1
2
3
4
0	-2	-7	 0
9	 2	-6	 2
-4	 1	-4	 1 
-1	 8	 0	-2

在经过前缀和处理之后，输出的是这个：

1
2
3
4
0	-2	-7	 0
9	 0	-13	 2
5	 1	-17	 3
4	 9	-17	 1

可以模拟一下，a[i][j] - a[i-k][j]正好是以i为最下面一行，往上k行的压缩结果，这就很方便地表示了压缩后的矩形。

1
2
3
4
5
6
7
8
for (i = 1; i <= n; ++i) {
    for (k = 1; k <= i; ++k) {
        int f[150];  // f[j]表示压缩的矩形第j列的值
        for (j = 1; j <= n; ++j) {
            f[j] = a[i][j] - a[i - k][j];  // 求压缩的矩形第j列的值
        }
    }
}

总结

模板题

海底高铁

海底高铁

题目背景

题目描述

该铁路经过 $N$ 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 $i$ 段铁路连接了城市 $i$ 和城市 $i+1(1\leq i<N)$。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 $i$ 段铁路购买纸质单程票需要 $A_i$ 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 $i$ 段铁路，需要花 $C_i$ 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 $B_i(B_i<A_i)$ 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 $i$ 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 $M$ 个城市，从城市 $P_1$ 出发分别按照 $P_1,P_2,P_3,\cdots,P_M$ 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数，$N,M$。

接下来一行，$M$ 个数字，表示 $P_i$。

接下来 $N-1$ 行，表示第 $i$ 段铁路的 $A_i,B_i,C_i$。

输出格式

一个整数，表示最少花费

样例 #1

样例输入 #1

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

样例输出 #1

1
6394

提示

$2$ 到 $3$ 以及 $8$ 到 $9$ 买票，其余买卡。

对于 $30%$ 数据 $M=2$。

对于另外 $30%$ 数据 $N\leq1000，M\leq1000$。

对于 $100%$ 的数据 $M,N\leq 105，A_i,B_i,C_i\le105$。

AC代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define M 100007
#define N 1007
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define db double
int cnt[M];
int a[M], b[M], c[M];
int n, m;
ll ans = 0, t = 0;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(NULL);
    cin >> n >> m;
    int pre, dst;
    cin >> pre;
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        cin >> dst;
        int maxi = max(pre, dst);
        int mini = min(pre, dst);
        cnt[mini]++;
        cnt[maxi]--;
        pre = dst;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        t += cnt[i];
        ans += min(t * a[i], t * b[i] + c[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}
  • Title: prefix_sum_algorithm
  • Author: Charles
  • Created at : 2023-01-06 20:13:15
  • Updated at : 2023-07-30 10:52:49
  • Link: https://charles2530.github.io/2023/01/06/prefix-sum-algorithm/
  • License: This work is licensed under CC BY-NC-SA 4.0.
recommend_articles
SwiftUI-basis SwiftUI-basis TOPSIS-model TOPSIS-model Bash-note-1 Bash-note-1
recommend_articles
SwiftUI-basis SwiftUI-basis TOPSIS-model TOPSIS-model
Comments
On this page
prefix_sum_algorithm
  1. prefix_sum_algorithm
    1. 前缀和
      1. 一维前缀和
        1. 前缀和算法的作用
        2. 构造前缀和数组
        3. 查询操作
        4. 总结
      2. 二维前缀和
        1. 构造二维前缀和数组
        2. 总结
    2. 差分
      1. 一维差分
        1. 差分数组的作用
        2. 差分数组
        3. 构造差分b数组
        4. 总结
      2. 二维差分
        1. 二维差分数组
        2. 构造二维差分b数组
        3. 二维差分压缩
        4. 总结
    3. 模板题
      1. 题目背景
      2. 题目描述
      3. 输入格式
      4. 输出格式
      5. 样例 #1
        1. 样例输出 #1
      6. 提示
      7. AC代码