matlab-note-7

符号计算

符号对象

符号对象的建立

sym函数用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：$name=sym(A)$。将由A来建立符号对象。其中A可以是一个数值常量、数值矩阵或者数值表达式(不加单引号),此时符号对象为一个符号常量；A也可以是一个变量名（加单引号），这时符号对象为一个符号变量。

t = sym(2);
t + 1/2
sin(sym(pi / 3))
sin(pi / 3)

a = 5;
b = -8;
x = sym('a');
y = sym('b');
w = (a + b) * (a - b)
s = (x + y) * (x - y)
eval(s)

syms命令用于一次定义多个符号变量。

syms a b c d

符号对象的运算

四则运算：与之前相同

关系运算：lt()(<),le()(<=),gt()(>),ge()(>=),eq()(==),ne()(~=)

• 在进行符号对象的运算前，可用assume函数对符号对象设置值域。

逻辑运算：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)

因式分解与展开运算：

• MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：
  ①factor(s)：对符号表达式s分解因式。
  ②expand(s)：对符号表达式s进行展开。
  ③collect(s)：对符号表达式s合并同类项。
  ④collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

其他运算：

• ①提取有理分式的分子分母：[n,d]=numden(s)。
  ②提取符号表达式的系数：c=coeffs(s,x)。
  ③符号表达式化简：simplify(s)。
  ④符号多项式与多项式系数向量之间的转换：
• 符号多项式转换为多项式系数向量：p=sym2poly(s)。
  • 多项式系数向量转换为符号多项式：s=poly2sym§。

符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。

符号微积分

符号函数的极限

求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为：$limit(f,x,a)$即求函数f关于变量x在a点的极限。

• limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：
  $limit(f,x,a,‘right’)$
  $limit(f,x,a,‘left’)$

syms a m x n;
f = (x ^ (1 / m) - a ^ (1 / m)) / (x - a);
limit(f, x, a)
g = (1 + 1 / n) ^ n;
limit(g, n, inf)

符号函数的导数

MATLAB中的求导函数为：$diff(f,x,n)$ 即求函数f关于变量x的n阶导数。
参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1。

符号函数的积分

不定积分

在MATLAB中，求不定积分的函数是int()，其常用的调用格式为：$int(f,x)$即求函数f对变量x的不定积分。

定积分

在MATLAB中，定积分的计算也使用int()函数，但调用格式有区别：$int(f,x,a,b)$
其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。

• 当函数f关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。
• 当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
• 当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

级数

级数求和

求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum()，其调用格式为：$symsum(s,v,n,m)$
其中，s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和变量v的初值和末值。

syms n;
s1 = symsum(n ^ 2, 1, 100)

s2 = symsum((-1) ^ (n - 1) / n, 1, inf)

s3 = symsum((-1) ^ (n - 1) / (2 * n - 1), n, 1, inf)

hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1)
eval(s3) * 4

泰勒级数

MATLAB提供了taylor()函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：$taylor(f,v,a,Name,Value)$
该函数将函数f按变量v在a点展开为泰勒级数，v的默认值与diff函数相同，a的默认值是0。Name和Value为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。

Name有3个可取字符串：
①’ExpansionPoint’：指定展开点，对应值可以是标量或向量。未设置时，展开点为0。
②’Order’：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。
③’OrderMode’：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为’Absolute’或’Relative’。未设置时取’Absolute’。

syms x;
f = (1 + x + x ^ 2) / (1 - x + x ^ 2);
taylor(f, x, 1, 'Order', 6)

符号方程求解

代数方程符号求解

在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve()实现，其调用格式为：
①solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。
②solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
③solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1，s2，…，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1，v2，…，vn。

常微分方程符号求解

在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y’，D2y表示y’’，Dy(0)=5表示y’(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y’’’+y’’+y’-x+5=0。

• 符号常微分方程求解可以通过函数dsolve()函数来实现，其调用格式为：$dsolve(e,c,v)$

  用于求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v是方程中的自变量，省略时按默认原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。

• dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：$dsolve(e1,e2,…,en,c1,c2,…,cn,v)$

  用于求解常微分方程组e1, e2, …, en在初值条件c1, c2, …, cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解。v给出求解变量，如果没有指定自变量，则采用默认自变量t。